Question

如图，已知正方体的棱长为1，点是棱上的动点，是棱上一点，.

（1）求证：；

（2）若直线平面，试确定点的位置，并证明你的结论；

（3）设点在正方体的上底面上运动，求总能使与垂直的点所形成的轨迹的长度.（直接写出答案）

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）要证，需证明平面，要证，，用综合法书写即可．

（2）要证明平面，需证明，需证面，需证面，需证：，要证明：，由此确定E点的位置．

（3）过三等分点作平行线，对于上面的任意一点都有，再求长度．

（1）证明：连结，是正方形，所以，

在正方体中，平面，

所以，

又，

所以平面，

因为平面，

所以.

（2）当时，直线平面.

证明如下：

过点在平面作交于点，

连结，交于点，

因为，所以，

在与中，，，

所以，，

又，所以，

所以，，

在正方体中，面，

所以面，

所以，

又，

所以面，

所以，

又，，

所以直线平面.

（3）.