Question

已知圆经过点、，并且直线平分圆.

（1）求圆的方程；

（2）若过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点、.

（i）求实数的取值范围；

（ii）若，求的值.

Answer

（1）；（2）（i）；（ii）.

【解析】

（1）求出线段的垂直平分线方程，将线段的垂直平分线方程与直线的方程联立，可圆心的坐标，求出半径，即可得出圆的标准方程；

（2）（i）将直线的方程表示出来，利用圆心到直线的距离小于半径得出的不等式，即可得出实数的取值范围；

（ii）设点、，令，可得出直线的方程为，将直线的方程与圆的方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入，可求出的值，进而可得出的值.

（1）线段的中点，直线的斜率为，

故线段的中垂线方程为，即.

因为圆经过、两点，故圆心在线段的中垂线上.

又因为直线平分圆，所以直线经过圆心.

联立，解得，即圆心的坐标为，而圆的半径，

所以圆的方程为：；

（2）直线的方程为，即，

圆心到直线的距离.

（i）题意得，两边平方整理得，解得或.

因此，实数的取值范围为：；

（ⅱ）令，则直线的方程可写成.

将直线的方程与圆的方程组成方程组得，

将①代入②得：，

设、，则由根与系数的关系可得，，

而，

所以，

整理得，解得，则.

，舍去.

综上所述，.