Question

过双曲线（，）的右焦点作圆的切线，切点为.直线交抛物线于点，若（为坐标原点），则双曲线的离心率为（    ）

A. B. C. D.

Answer

B

【解析】

如图，由得 是的中点，设抛物线的焦点为，则为，也是双曲线的焦点，连接分别是和的中点，为的中位线，于是可得，设，则由抛物线定义得，于是有代入抛物线方程，过点作轴的垂线，由抛物线定义知点到该垂线的距离为，由勾股定理得，即，变形可得，两边同除以，有，所以（负值已经舍去），故选B.

【方法点晴】本题主要考查利用抛物线及双曲线的定义、双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.

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