Question

已知为坐标原点，抛物线与直线相交于两点．

(1)求证：；

(2)当的面积等于时，求实数的值．

Answer

(1)见解析.(2) .

【解析】

(1)将直线方程与抛物线方程联立，得到一元二次方程，通过根与系数的关系，结合两直线斜率乘积为，即可说明两直线垂直；

(2)求出直线与轴交点，表示出三角形的面积，根据面积为，解方程即可求出实数的值.

（1）显然直线的斜率存在且．

联立，消去，得．

如图，设，则，

由根与系数的关系可得，．因为在抛物线上，所以，，．因为，所以．

(2)设直线与轴交于点，

令，则，即．

因为

，

所以，解得．