Question

如图所示，已知A、B、C是长轴长为4的椭圆E上的三点，点A是长轴的一个端点，BC过椭圆中心O，且，.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设是以原点为圆心，短轴长为半径的圆，过椭圆E上异于其顶点的任一点P，作的两条切线，切点分别为M，N，若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m，n，试计算的值是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，证明见解析.

【解析】

（Ⅰ）由已知得，数形结合求得的坐标，代入椭圆方程求得，则椭圆方程可求；

（Ⅱ）设，，由，是切点，可知、、、四点共圆．分别写出以为直径的圆的方程与圆的方程，联立可得所在直线方程求出直线在，轴上的截距，结合在椭圆上可得的值是定值．

【解析】
（Ⅰ）依题意知：椭圆的长半轴长，则，

设椭圆的方程为

由椭圆的对称性知，又，

， 为等腰直角三角形，

点C的坐标为，点B的坐标为，

将C的坐标代入椭圆方程得

所求的椭圆的方程为

（Ⅱ）设点，由，是的切点知，，，

、、、四点在同一圆上，

且圆的直径为OP则圆心为，

其方程为，

即 ①

即点，满足方程①，又点，都在上，

， 坐标也满足方程 ②

②①得直线的方程为，

令，得，令得，

，，又点Р在椭圆E上，

，即为定值.