Question

已知为常数，，函数，（其中是自然对数的底数）.

（1）过坐标原点作曲线的切线，设切点为，求证：；

（2）令，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围．

Answer

(1) ;(2) .

【解析】

试题（1）先对函数求导，，可得切线的斜率，即，由是方程的解，且在上是增函数，可证；（2）由，，先研究函数，则，由在上是减函数，可得，通过研究的正负可判断的单调性，进而可得函数的单调性，可求出参数范围.

试题解析：（1）（），

所以切线的斜率，

整理得，显然，是这个方程的解，

又因为在上是增函数，

所以方程有唯一实数解，

故．

（2），，

设，则，

易知在上是减函数，从而．

①当，即时，，在区间上是增函数，

∵，∴在上恒成立，即在上恒成立．

∴在区间上是减函数，所以满足题意．

②当，即时，设函数的唯一零点为，

则在上递增，在上递减，

又∵，∴，

又∵，

∴在内有唯一一个零点，

当时，，当时，.

从而在递减，在递增，与在区间上是单调函数矛盾.

∴不合题意．综上①②得，．