Question

已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的最小值为________.

Answer

【解析】

由题意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，设椭圆的方程为1（a1＞b1＞0），双曲线的方程为1（a2＞0，b2＞0），利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得的表达式，通过基本不等式即得结论．

【解析】
由题意可知：|PF1|＝|F1F2|＝2c，

设椭圆的方程为1（a1＞b1＞0），

双曲线的方程为1（a2＞0，b2＞0），

又∵|F1P|+|F2P|＝2a1，|PF2|﹣|F1P|＝2a2，

∴|F2P|+2c＝2a1，|F2P|﹣2c＝2a2，

两式相减，可得：a1﹣a2＝2c，

则（18）

•（218）＝8．

当且仅当，即有e2＝3时等号成立，

则的最小值为8，

故答案为：8．