Question

已知抛物线的焦点恰好是椭圆的右焦点.

（1）求实数的值及抛物线的准线方程；

（2）过点任作两条互相垂直的直线分别交抛物线于、和、点，求两条弦的弦长之和的最小值．

Answer

（1），；（2）最小值为

【解析】

（1）根据椭圆方程C:求出右焦点,即为抛物线的焦点,根据抛物线的焦点坐标与的关系式即可求出,最后得抛物线的准线方程.

（2）根据题意设、 的直线方程,将直线代入抛物线中,消得,根据韦达韦达定理求得,同理求得,将+用基本不等式不等式即可求出最小值.

（1）由已知椭圆C整理得,

所以焦点F的坐标为, 所以

所以抛物线E的准线方程为：

（2）由题意知两条直线的斜率存在且不为零

设直线的斜率为,方程为,

则的斜率为,方程为

设、,由得

因为,所以,,

所以同理得,

所以

当且仅当即时取“等号”,所以两条弦的弦长之和的最小值为