Question

各项均为正数的数列的前项和为，，且.

（1）求证：数列不是等差数列；

（2）是否存在整数，使得对任意的都成立？证明你的结论.

Answer

（1）见解析（2）存在，证明见解析.

【解析】

（1）由，得，根据等差数列的性质即可证明；

（2）证明数列的奇数项和偶数项都是等差数列，分为偶数和为奇数两种情况进行讨论，结合等差数列的求和公式得出，再解不等式，求出的范围，即可得出结论.

（1）由，得

如果数列是等差数列，则，即，解得

与已知矛盾，则数列不是等差数列；

（2）当时，，

当时，由得，

两式相减化简得：

，

数列的奇数项是以为首项，公差为的等差数列

数列的偶数项是以为首项，公差为的等差数列

当为偶数时

对任意的都成立，即对任意的都成立

，结合，解得，

则可取，使得对任意为偶数时成立

当为奇数时

，即，结合，解得

则可取，使得对任意为奇数时成立

综上，即存在整数为，使得对任意的都成立.