Question

已知椭圆：过点和点.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，，记线段的中点为，是否存在实数，使得？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由

Answer

（1）（2）不存在

【解析】

（1）根据椭圆过点，代入即可求出，写出标准方程（2）假设存在,联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可求弦MN中点，根据知，利用垂直直线斜率之间的关系可求出，结合直线与椭圆相交的条件，可知不存在.

（1）椭圆：过点和点，

所以，由，解得，所以椭圆：.

（2）假设存在实数满足题设，

由，得，

因为直线与椭圆有两个交点，所以，即，

设的中点为，，分别为点，的横坐标，

则，从而，所以，

因为，所以，所以，而，所以，

即，与矛盾，因此，不存在这样的实数，使得.