Question

已知椭圆的离心率为，且经过点P，过它的左、右焦点分别作直线l₁和1₂.l₁交椭圆于A.两点，l₂交椭圆于C,D两点， 且

(1)求椭圆的标准方程.

(2)求四边形ACBD的面积S的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）由题得关于的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程;（2）当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，求出此时四边形的面积；若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为．求出，再利用基本不等式求S的取值范围.

（1）由得，所以，

将点P的坐标代入椭圆方程得，

故所求椭圆方程为.

（2）当与中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，

此时四边形的面积为，

若与的斜率都存在，设的斜率为，则的斜率为．

直线的方程为，设，，联立，

消去整理得，

，，

， 

同理得，

所以，

令，

，

(当且仅当t=1时取到等号)

综上可知，四边形面积的.