Question

为保障城市蔬菜供应，某蔬菜种植基地每年投入20万元搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入2万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜.根据以往的经验，发现种西红柿的年收入、种黄瓜的年收入与大棚投入分别满足，.设甲大棚的投入为，每年两个大棚的总收入为.（投入与收入的单位均为万元）

（Ⅰ）求的值.

（Ⅱ）试问：如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使年总收人最大？并求最大年总收入.

Answer

（Ⅰ）39万元（Ⅱ）甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，最大年总收入为44.5万元.

【解析】

（I）根据题意求得的表达式，由此求得的值.

（II）求得的定义域，利用换元法，结合二次函数的性质，求得的最大值，以及甲、乙两个大棚的投入.

（Ⅰ）由题意知，

所以（万元）.

（Ⅱ）依题意得.

故.

令，则，，

显然在上单调递增，

所以当，即时，取得最大值，.

所以当甲大棚投入18万元，乙大棚投入2万元时，年总收入最大，且最大年总收入为44.5万元.