Question

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，，，，.

（Ⅰ）设分别为的中点，求证：平面；

（Ⅱ）求证：平面；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【解析】

（I）连接，利用平行四边形的性质，结合三角形的中位线，证得，由此证得平面.

（II）取棱的中点，连接，根据等腰三角形的性质证得，根据面面垂直的性质定理证得平面，由此证得，再由证得平面.

（III）连接，结合（II）中证得的平面，判断出为直线与平面所成的角，解三角形求得线面角的正弦值.

（Ⅰ）如图，连接.

易知，.

又由，

可知.

因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅱ）如图，取棱的中点，连接.

依题意，得，

又因为平面平面，平面平面，

所以平面，又平面，

故.

又因为，，

所以平面.

（Ⅲ）如图，连接.

由（Ⅱ）中平面，可知为直线与平面所成的角.

因为，，且为中点，

所以.

又，在中，，

所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.