Question

如图四边形是正方形，平面，平面，，

(1)求证:平面平面;

(2)若点为线段中点.证明:平面.

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】

（1）平面AMD内的直线MA，AD，分别平行平面BPC内的直线PB，BC，即可证明平面平面；
（2）连接AC，设AC∩BD＝F，连接EF，分别证明ME⊥PB，ME⊥BD，即可证明平面PBD.

证明：（1）因为PB⊥平面ABCD，MA⊥平面ABCD，

所以PBMA.

因PB⊂平面BPC，MA不在平面BPC内，

所以MA平面BPC，同理DA平面BPC，

因为MA⊂平面AMD，AD⊂平面AMD，MA∩AD＝A，

所以平面AMD平面BPC；

（2）连接AC，设AC∩BD＝F，连接EF.

因ABCD为正方形，所以F为BD中点.
因为E为PD中点，所以.因为，

所以，
所以AFEM为平行四边形.

所以MEAF.

因为PB⊥平面ABCD，AF⊂平面ABCD，
所以PB⊥AF，

所以ME⊥PB，
因为ABCD为正方形，所以AC⊥BD，所以ME⊥BD，
所以ME⊥平面BDP.