Question

设直线的方程为.

(1)求证:不论为何值，直线必过一定点;

(2)若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当而积最小时，求的周长;

(3)当直线在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线的方程.

Answer

(1)证明见解析；(2) ；(3) ，，，，

【解析】

(1)将原式变形为，由可得直线必过一定点；

(2)由题可得，，则，求出最值，并找到最值的条件，进而可得的周长；

(3) ，均为整数，变形得，只要是整数即可，另外不要漏掉截距为零的情况，求出，进而可得直线的方程.

【解析】
(1)由得，

则，解得，

所以不论为何值，直线必过一定点；

(2)由得，

当时，，当时，，

又由，得，

，

当且仅当，即时，取等号.

，，

的周长为；

(3) 直线在两坐标轴上的截距均为整数，

即，均为整数，

，，

又当时，直线在两坐标轴上的截距均为零，也符合题意，

所以直线的方程为，，，，.