Question

已知函数.

(1)求函数的单调区间；

(2)若不等式在时恒成立，求的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

(1)本题首先可以对函数进行求导，然后通过对以及两种情况进行分类讨论，分别求出每一种情况下函数的单调性，即可得出结果；

(2)本题首先可以将不等式在时恒成立转化为在时恒成立，然后令，再对函数的导函数的性质进行分类讨论，即可得出结果．

（1），

①若，，在上单调递增；

②若,当时，，当时，，

所以是函数的单调递增区间，是函数的单调减区间，

综上所述，当时，的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．

（2）由题意可知，不等式可转化为在时恒成立，

令，

，

①若，则，在上单调递减，

所以，不等式恒成立等价于，即；

②若，则，当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

所以，不符合题意；

③若，当时，，在上单调递增，

所以，不符合题意；

综上所述，．