Question

已知等比数列的公比，前项和为，若，且是与的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，记数列的前项和，若存在使成立，求实数的取值范围.

Answer

(1) (2)

【解析】

（1）根据等比数列的通项公式， 以及等差中项的性质，由和 是与的等差中项.可以得到方程组：，解这个方程组，最后求出数列的通项公式；

（2）用裂项相消法求出数列的前项和，,由已知可知：若存在使成立，这样可以得到：，构造函数，利用函数的单调性，求出函数的最小值，问题可解.

（1）【解析】
（1）由题意得：，得∴；

（2）∵∴

，

又因为存在使成立，

所以有解，即，

令，

则函数在上单调递增，所以当时，，∴.