Question

设数列的前项和为，已知（），且.

（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，且证明；

（3）在（2）小问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）见解析（3）

【解析】

（1）根据题设条件，利用等比数列的定义，即可判定数列是等比数列，进而求解数列的通项公式；

（2）由（1），得，进而得到，即可利用放缩法，证得；

（3）当恒成立时，即恒成立

设，分类讨论求得函数的最大值，即可求得实数的取值范围.

（1）在中

令，得即，

∵ 解得

当时，由，得到

则

又，则

是以为首项，为公比的等比数列，

，即

，则，

当时，

当时，，

综上，

（3）当恒成立时，即（）恒成立

设（），

当时，恒成立，则满足条件；

当时，由二次函数性质知不恒成立；

当时，由于对称轴 ，则在上单调递减，

恒成立，则满足条件，

综上所述，实数λ的取值范围是