Question

在平面直角坐标系中，点，点.已知抛物线(是常数)，顶点为.

(1)当抛物线经过点时，求顶点的坐标；

(2)若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；

(3)无论取何值，该抛物线都经过定点.当时，求抛物线的解析式.

Answer

（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）将点坐标代入解析式求得的值即可得；

（2）先求出顶点的坐标，根据知点在第四象限且,列出关于的方程，解知可得；

（3）由知，过点作,交射线于点,分别过点，作轴的垂线，垂足分别为，证得,据此知点的坐标为或，再求出直线的解析式，将点的坐标代入求得的值即可得出答案.

（1）抛物线经过点

解得：

抛物线解析式为

顶点的坐标为；

（2）抛物线的顶点的坐标为，

由点在轴的正半轴上，点在轴的下方，知点在第四象限，如图1，过点作轴于点，

则，可知，即，

解得：

当时，点不在第四象限，舍去；

抛物线的解析式为；

（3）由，可知当时，无论取何值时都等于，

点的坐标为，

过点作，交射线于点，分别过点，作轴的垂线，垂足分别为

则

则点的坐标为或；

①当点的坐标为时，可得直线的解析式为

点在直线上，

，

当时，点与点重合，不符合题意，

；

②当点的坐标为时，可得直线的解析式为，

点在直线上，

，

解得：或，

则抛物线的解析式为或