Question

定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为(    )

A.2 B.4

C.2或4 D.2或4或6

Answer

B

【解析】

由函数关于点对称，得是奇函数，由此可作出函数的图象，利用图象可分析方程的根的个数，再用换元法（设）把原方程转化为一元二次方程，通过这个二次方程根的研究得出原方程解的个数．

∵函数关于点对称，∴是奇函数，时，在上递减，在上递增，

作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是1，2，3.

或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解，

方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设，

若，则，，和都有两个根，原方程有4个根；

若，则，，∴，，有三个根，有一个根，原方程共有4个根；

若，则，，∴，，有一个根，有三个根，原方程共有4个根．

综上原方程有4个根．

故选：B.