Question

设函数的最小正周期为，且其图象关于直线对称，则在下面结论中正确的个数是__________.

①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数；⑤由可得必是的整数倍.

Answer

2

【解析】

根据函数的周期和对称轴可以得到解析式，然后对5个结论分别进行判断，从而得到答案.

函数的最小正周期为，

所以，得到，

得到，

令，，

代入对称轴，得，，

因为，所以，得，

所以函数解析式为，

令，，得，，

所以对称中心的坐标为，，

所以，①图象关于点对称，错误；

②图象关于点对称，正确；

令，，

解得，，

所以函数的单调递增区间为，，

所以③在上是增函数，错误；

④在上是增函数，正确；

由函数对称中心的坐标为，，

可得相邻零点的差是的整数倍，

所以⑤由可得必是的整数倍，错误.

故答案为：.