Question

如图，过函数的图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，线段与函数的图象交于点，且与轴平行．

（1）当，，时，求实数的值；

（2）当时，求的最小值；

（3）已知，，若，为区间内任意两个变量，且，

求证：．

Answer

（1）；（2）；（3）证明详见解析．

【解析】

试题（1）由，，，得,，又与轴平行,∴，； (2) ,,，

与轴平行,则，由得：,故，∴时,取得最小值．(3)根据对数函数的增减性及,得．又，，∴由指数函数的性质得 ，．又，,

故，即,故，即．

试题解析：（1）由题意,得,,．又与轴平行,

∴，．

(2)由题意,得,,．

与轴平行,．

∵，∴,∴．

故时,取得最小值．

(3)根据对数函数的增减性及,得．

又∵，，∴，．

又,，

,,

即．