Question

设函数满足：①对任意实数都有；②对任意，都有恒成立；③不恒为0，且当时，.

（1）求的值；

（2）判断函数的奇偶性，并给出你的证明.

（3）定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”.试证明：函数为周期函数，并求出的值.

Answer

（1），；（2）偶函数；见解析（3）见解析，

【解析】

（1）令，，得，令，得，从而得到，再令，确定出的范围，从而得到；（2）令，，结合，可得为偶函数；（3），得周期为，再分别令，，可得，，从而得到，结合周期性，得到答案.

（1）由于不恒为0，故存在，使，

令，，

则，

所以，

令，，

由，

令，得，

所以得到

又令，

因为当时，，所以，

所以，，故；

（2）定义域为,

令，,

得，

因为

所以，

所以为偶函数；

（3）由

取，得，

又为偶函数，

则，

即是以2为周期的周期函数；

令，得，即

再令，得，即.

而，解得，，，

由得，，，

所以

又由于是以2为周期的周期函数，.