Question

函数的图象的对称轴之间的最短距离为，且经过点.

（1）写出函数的解析式；

（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（3）求实数和正整数，使得在上恰有2017个零点.

Answer

（1） ；（2） ；（3）或时，；时，

【解析】

（1）由对称轴及图像上一点，待定系数可得函数解析式；

（2）求值域，换元后，转化为二次函数恒成立问题求参数；

（3）将零点问题转化为交点问题，先考虑一个周期的情况，再进行延拓.

（1）的图象的对称轴之间的最短距离为，

故其周期为，解得；

又经过点，故，

解得

又因为，故可得，

故.

（2）若对任意的，，

故，

因为恒成立，

令，

恒成立，只需：

，且，

解得.

（3）∵在上恰有2017个零点，

故的图象和直线在上恰有2017个交点.

先考虑在在上的交点情况，

不妨作出在上的图像如下：

①当，或时，

的图象和直线在上无交点.

②当，或时，

的图象和直线在仅有一个交点，

此时，的图象和直线在上恰有2017个交点，

则.

③当，或时，

的图象和直线在上恰有2个交点，

的图象和直线在上有偶数个交点，不会有2017个交点.

④当时，

的图象和直线在上恰有3个交点，

此时，，才能使的图象和直线在上有2017个交点.

综上可得，当，或时，；

当时，此时，.