Question

已知抛物线，点.

（1）求抛物线的顶点坐标；

（2）若抛物线与轴的交点为，连接，并延长交抛物线于点，求证：；

（3）将抛物线作适当的平移，得抛物线，若时，恒成立，求得最大值.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）8.

【解析】

（1）配方后可得顶点坐标；

（2）求出点坐标，得到直线的方程，与抛物线方程联立可解得点坐标，求出后可证结论成立；

（3）令，求得其与的一个交点的坐标，进而求得解析式，再求得另一交点坐标即可得．

（1），∴其顶点坐标为；

（2）在中令得，所以，此时直线方程为，

由，解得或，所以，

∴，

所以；

（3）如图所示，设，设其与抛物线交点的横坐标为，且，根据题意要使最大，也尽可能的大，因此，则，将代入抛物线方程得，解得，（舍去），∴，令，解得，，故的最大值是8.