Question

已知是椭圆：的左焦点，O为坐标原点，为椭圆上的点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点都在椭圆上，且中点在线段（不包括端点）上，求面积的最大值，及此时直线的方程.

Answer

（1）；（2）面积的最大值为1，  此时直线的方程为

【解析】

（1）依题意可得，求出，即可得到椭圆的标准方程；

（2）设，，，易知直线AB的斜率存在，设为k，将两点坐标分别代入椭圆方程，所得两式相减，可得到，进而可求出k的值，从而设出直线的方程，并与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，分别表示出弦长及点O到直线AB的距离，从而可求得面积的表达式，进而求出最大值，并求得此时直线的方程.

（1）依题意可得，

即，解得，则．

故椭圆的标准方程为；

（2）设，，，

依题意可知，直线AB的斜率存在，设为k，

则，所以，

即，

又，，，所以，

又直线OP：，M在线段OP上，所以，所以．

设直线AB的方程为，

联立方程，可得，

，，，

且，即，解得，

所以，，

又点O到直线AB的距离，

所以，

当且仅当，即舍去时，等号成立，此时直线方程为.

所以面积的最大值为1，此时直线的方程为.