Question

已知，，，是半径为2的球面上的点，，，点在上的射影为，则三棱锥体积的最大值是（    ）.

A. B. C. D.

Answer

B

【解析】

由可以判断出点在底面的射影的位置，这样可以确定球心位置，利用勾股定理、直角三角形的性质可以求出点到底面的距离，利用相似三角形的性质，可以求出三角形的面积表达式，最后利用导数求出其面积的最大值，最后也就求出了体积的最大值,

因为，，所以点在底面的射影是直角三角形斜边中点，所以球心在线段的延长线上，设，因此，

，即，.

过作，垂足为，设，，，

由，可得，，

设，则有，由，可得，

当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，故当，函数有最大值，最大值为：.三角形的面积的最大值为.

三棱锥体积的最大值是.

故选：B