Question

已知函数.

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若函数的最小值为，求的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

试题（1）由已知，根据求导公式和法则，可得函数的导函数为，构造函数，易知在上为单调递增，则，因此若或时，函数没有零点，所以函数只有一个零点1；若或时，函数存在唯一个零点，所以函数有两个零点.

（2）由（1）知，可对的取值范围，结合函数的单调性，进行分段讨论，对参数各段取值，逐一求出函数的最小值是否为，若是即满足题意，综合全部从而可确定参数的取值范围.

试题解析：（1），

令，，故在上单调递增

则

因此当或时，只有一个零点；

当或时，有两个零点.

（2）当时，，则函数在处取得最小值

当时，则函数在上单调递增，则必存在正数，

使得.

若，则，函数在与上单调递增，在上单调递减，

又，故不符合题意.

若，则，，函数在上单调递增，

又，故不符合题意.

若，则，设正数

则，

与函数的最小值为矛盾.

综上所述，，即.