Question

已知函数在处的切线方程为.

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的方程f（x）＝ke^x（其中e为自然对数的底数）恰有两个不同的实根，求实数的值.

Answer

（1）（2）或

【解析】

（1）求出原函数的导函数，依题意，，得到关于a，b的不等式组，求得a，b的值，则函数解析式可求；

（2）方程f（x）＝kex，即x2﹣x+1＝kex，得k＝（x2﹣x+1）e﹣x，记F（x）＝（x2﹣x+1）e﹣x，利用导数求其极值，可知当k或k时，它们有两个不同交点，因此方程f（x）＝kex恰有两个不同的实根；

（1）f（x）＝ax2+bx+1，，

依题设，有，即，

解得，∴.

（2）方程f（x）＝kex，即x2﹣x+1＝kex，，可化为，

记，则，

令，得，

当变化时，、的变化情况如下表：

-

+

-

↘

极小

↗

极大

↘

所以当时，取极小值；当时，取极大值，

又时，，且；

时，，

可知当k或k时，它们有两个不同交点，因此方程f（x）＝kex恰有两个不同的实根；