Question

已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若且，求证：.

Answer

(1)答案见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）求导得到导函数后，通过和两种情况，确定的正负，从而得到函数的单调性；（2）将问题转化为证明：；设，，只需证；通过求导运算，可知，再通过零点存在定理，不断确定的最值位置，从而证得，证得结论.

（1）函数的定义域为

①若时，则，在上单调递减；

②若时，当时，

当时，；当时，

故在上，单调递减；在上，单调递増

（2）若且，欲证

只需证

即证

设函数，，则

当时，；故函数在上单调递增

所以

设函数，则

设函数，则

当时，

故存在，使得

从而函数在上单调递增；在上单调递减

当时，

当时，

故存在，使得

即当时，，当时，

从而函数在上单调递增；在上单调递减

因为

故当时，

所以

即