Question

AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A､B的动点，过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，D，E分别是VA，VC的中点.

（1）判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；

（2）当△VAB为边长为的正三角形时，求四面体V﹣DEB的体积.

Answer

（1）⊥平面，理由见解析（2）

【解析】

（1）由已知可得AC⊥BC，AC⊥VC，可证AC⊥平面VBC，D，E分别是VA，VC的中点，有DE∥AC，即可证明结论；

（2）由已知可证△VBC≌△VAC，得到BC=AC，进而求出BC，AC，VC值，利用等体积法有，即可求解.

（1）DE⊥平面VBC，证明如下:

∵AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A､B的动点，

∴AC⊥BC，∵过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，

AC⊂平面ABC，∴AC⊥VC，∵BC∩VC=C，

∴AC⊥平面VBC，∵D，E分别是VA，VC的中点，

∴DE∥AC，∴DE⊥平面VBC.

（2）∵△VAB为边长为的正三角形，

AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A､B的动点，

过动点C的直线VC垂直于圆O所在平面，

D，E分别是VA，VC的中点，∴△VBC≌△VAC，∴BC=AC，∴BC2+AC2=AB2=8.∴AC=BC=2，

D，E分别是VA，VC的中点，∴DE==1，

∴四面体V﹣DEB的体积为:

=.