Question

如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

（1）求证:AB⊥DE；

（2）若点F为BE的中点，求直线AF与平面ADE所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由已知结合余弦定理，求得，再由勾股定理的逆定理有ED⊥DB，根据面面垂直的性质定理可得ED⊥平面ABD，即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出，进而求出坐标和平面ADE法向量的坐标，按照空间线面角公式，即可求解.

（1）在△ABD中，由余弦定理:

BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcos∠DAB，∴，

∴△ABD和△EBD为直角三角形，此即ED⊥DB，

而DB又是平面EBD和平面ABD的交线，

且平面EBD⊥平面ABD，ED⊂平面EBD，

∴ED⊥平面ABD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥DE；

（2）由（1）知∠ABD=∠CDB=90°，以D为坐标原点，

DB，DC，DE所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则，

则，设平面ADE的法向量为，

则有，令x=1，则，

，设直线AF与平面ADE所成角为α，则有，

所以直线直线AF与平面ADE所成角的正弦为.