Question

如图，圆， 是圆M内一个定点，P是圆上任意一点，线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线E

（1）求曲线E的方程；

（2）过点D(0，3)作直线m与曲线E交于A，B两点，点C满足 (O为原点)，求四边形OACB面积的最大值，并求此时直线m的方程；

（3）已知抛物线上，是否存在直线与曲线E交于G，H，使得G，H的中点F落在直线y=2x上，并且与抛物线相切，若直线存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由.

Answer

（1）（2）2，（3）存在，x+8y﹣8=0或x=0

【解析】

（1）由已知可得|QN|=|QP|，进而有|QM|+|QP|=4>|MN|，根据椭圆定义，即可求解；

（2）由，四边形OACB为平行四边形，设，，设直线斜率为（斜率不存在另讨论），求出直线方程，与椭圆方程联立，消元，求出的范围，根据韦达定理得出，关系，进而将表示是为的目标函数，换元，利用基本不等式，即可求解；

（3）若直线斜率不存在，满足条件，若斜率存在，设直线与曲线E的交点坐标为，应用点差法，结合G，H的中点F落在直线y=2x上，求出直线的斜率，设直线方程，与抛物线方程联立，利用,求出直线方程，验证直线与椭圆是否相交，即可求解.

（1）由题意可知，Q在PN的垂直平分线上，所以|QN|=|QP|，

又因为|QM|+|QP|=r=4，所以|QM|+|QP|=4>|MN|，

所以Q点的轨迹为椭圆，且2a=4即a=2，

由题意可知c=，所以b=1，

∴曲线E的方程为

（2）因为，所以四边形OACB为平行四边形，

当直线m的斜率不存在时，显然不符合题意；

当直线m的斜率存在时，设直线 的方程为y=kx+3，

直线m与曲线E交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，

联立方程组，消去y，

整理得(1+4k2)x2+24kx+32=0.由△=(24k)2﹣128(1+4k2)>0

得k2>2. x1+x2=﹣，x1x2=，

因为S△OAB=|OD||x1﹣x2|=|x1﹣x2|，

所以S▱OACB=2S△OAB=3|x1﹣x2|=3

=3=24，

令k2﹣2=t，则k2=t+2(由上式知t>0)，

所以S▱OANB=24=24≤24=2，

当且仅当t=，即k2=时取等号，∴当k=±时，

平行四边形OACB的面积的最大值为2.此时直线的方程为y=±x+3

（3）若直线斜率存在，设直线与曲线E的交点坐标为，

满足曲线E的方程，两式作差可得，

G，H的中点F落在直线y=2x上，

则有代入可得，

直线方程可以设为与抛物线方程联立，

得，消元可得方程，

直线与抛物线相切则有，所以，

则直线的方程为x+8y﹣8=0，与椭圆方程联立:，

消元可得方程17y2﹣32y+15=0，△=322﹣4×17×15>0，

所以直线x+8y﹣8=0满足题意.

若直线斜率不存在时，直线x=0满足题意.

所以，综上这样的直线存在，方程是x+8y﹣8=0或x=0.