Question

已知点P在曲线x²+y²=1上运动，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，动点M满足.

（1）求动点M的轨迹方程；

（2）点A､B在直线x﹣y﹣4=0上，且AB=4，求△MAB的面积的最大值.

Answer

（1）x2+=1（2）

【解析】

（1）设，再由已知将用表示，代入曲线方程，即可求解；

（2）要求△MAB的面积的最大值，只需求点到直线距离的最大值，当点为与直线平行且距离较远的切线的切点时，为所求的点，转化为求与直线平行的切线方程，即可得出结论.

（1）设，

∵动点M满足.∴，

∴，解得:，

代入曲线，可得:.

∴动点M的轨迹方程为: .

（2）设与直线x﹣y﹣4=0平行且与椭圆相切的直线方程为:x﹣y+m=0，

联立，化为:9x2+2mx+m2﹣8=0，

令，解得.取.

可得切线:x﹣y+3=0与直线x﹣y﹣4=0的距离

d=.

∴△MAB的面积的最大值为.