Question

如图，圆，是圆M内一个定点，P是圆上任意一点，线段PN的垂直平分线l和半径MP相交于点Q，当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）已知抛物线上，是否存在直线m与曲线E交于G，H，使得G，H中点F落在直线y＝2x上，并且与抛物线相切，若直线m存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，x+8y﹣8＝0或x＝0

【解析】

（1）根据垂直平分线性质得|QN|＝|QP|，再根据椭圆定义求椭圆方程；

（2）先根据点差法求得直线斜率，再联立直线方程与抛物线方程，利用判别式为零得直线方程，最后考虑直线斜率不存在是是否满足题意.

【解析】
（1）由题意可知，Q在PN的垂直平分线上，

所以|QN|＝|QP|，又因为|QM|+|QP|＝r＝4，

所以|QM|+|QP|＝4＞|MN|，

所以Q点的轨迹为椭圆，且2a＝4即a＝2，

由题意可知c＝，所以b＝1，

∴曲线E的方程为.

（2）由已知抛物线方程是y2＝﹣x，

若直线斜率存在，设直线与曲线E的交点坐标为G（x1，y1），H（x2，y2），满足曲线E的方程，

两式作差可得+（y1+y2）（y1﹣y2）＝0，

因为G，H的中点F落在直线y＝2x上

则有y1+y2＝2（x1+x2）代入可得＝﹣，

直线方程可以设为y＝﹣x+b与抛物线方程联立，

消元可得方程y2﹣4y+4b＝0，

直线与抛物线相切则有△＝16﹣16b＝0，所以b＝1，

则直线的方程为x+8y﹣8＝0，与椭圆方程联立：，

消元可得方程17y2﹣32y+15＝0，△＝322﹣4×17×15＞0，

所以直线x+8y﹣8＝0满足题意.

若直线斜率不存在时，直线x＝0满足题意.

所以，综上这样的直线存在，方程是x+8y﹣8＝0或x＝0.