Question

已知函数，.

（1）证明：当时，；

（2）若时不等式成立，求的取值范围.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

(1)构造函数求导分析单调性证明即可.

(2)构造函数,求导后根据区间端点和极值点的大小关系等分参数的范围进行分析最大值即可.

【解析】
（1）令 ,

,

所以当时,单调递减.

当时,单调递减.

当时,取得最大值,

,

即,

当时,.

（2）令,则,

①当时,,所以函数在上单调递减,

所以,所以满足题意.

②当时,令,得,

所以当时, ,当时,.

所以函数在上单调递增,在上单调递减.

（ⅰ）当,即时,在上单调递增,

所以,所以,此时无解.

（ⅱ）当,即时,函数在上单调递增,在上单调递减.

所以 .

设 ,则,

所以在上单调递增,

,不满足题意.

（ⅲ）当,即时,在上单调递减,

所以,所以 满足题意.

综上所述：的取值范围为.