Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为的菱形，，点E是棱BC的中点，，点P在平面ABCD的射影为O，F为棱PA上一点．

(1)求证：平面PED平面BCF；

(2)若BF//平面PDE，PO=2，求四棱锥F-ABED的体积．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）推导出BC⊥PO，BC⊥DE，从而BC⊥平面PED，由此能证明平面PED⊥平面BCF；

（2）取AD的中点G，连结BG，FG，从而BG∥DE，进而BG∥平面PDE，平面BGF∥平面PDE，由此能求出四棱锥F﹣ABED的体积．

证明：平面ABCD，平面ABCD，，

依题意是等边三角形，E为棱BC的中点，，

又，PO，平面PED，平面PED，

平面BCF，平面平面BCF．

【解析】
Ⅱ取AD的中点G，连结BG，FG，

底面ABCD是菱形，E是棱BC的中点，，

平面PDE，平面PDE，平面PDE，

平面PDE，，平面平面PDE，

又平面平面，平面平面，

，为PA的中点，

，

点F到平面ABED的距离为，

四棱锥的体积：

．