Question

在直角坐标系中，已知点，，，其中.

（1）求的最大值；

（2）是否存在，使得为钝角三角形？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer

（1）2；（2）存在，

【解析】

（1）根据向量数量积用坐标表示，结合辅助角公式，以及余弦函数的性质，利用整体法，可得结果.

（2）利用向量的数量积的符号，来判断三角形的角度大小，可得结果.

【解析】
（1）由题意：，

；

所以

则

即；

因为，所以；

所以当，即时，

取得最大值；

（2）因为，

，

；

又，所以，，

所以，；

所以若为钝角三角形，则角是钝角，

从而；

由（1）得，

解得；

所以，即；

反之，当时，，

又三点不共线，所以为钝角三角形；

综上，当且仅当时，为钝角三角形.