Question

已知数列为等比数列，其前项和为，且的等差中项为，若.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，对于任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）根据等差数列的性质，以及等比数列的通项公式，可得结果.

（2）根据（1）的结论，可得，然后分离参数，并构造新的函数，研究新函数的值域与的大小关系，可得结果.

【解析】
（1）依题意：

，可得

（2）

由，，所以

不等式恒成立

即

即恒成立

记，

即

单调递减.

，

不等式

恒成立的实数的取值范围为