Question

直角梯形ABCD如图（1）所示，其中，，过点B作，垂足为M，得到面积为4的正方形ABMD，现沿BM进行翻折，得到如图（2）所示的四棱柱C-ABMD．

（1）求证：平面平面CDM；

（2）若，平面CBM与平面CAD所成锐二面角的余弦值为，求CM的长．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据翻折的性质可知，，即可得到平面，从而得证；

（2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法表示出二面角的余弦，从而解方程即可.

【解析】
（1）在图（1）中，因为，，

所以翻折后，在图（2）中有，，．

又，平面，平面，

所以平面，

因为平面，

故平面⊥平面．

（2）因为，，，平面，平面，

所以平面，

又，以 为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，D（2，0，0），C（0，0，a），A（2，2，0），则，．

设平面CAD的法向量为，由，

取，，，即，取平面的法向量为，

，即，解得，即．