Question

已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数在上的最值；

（2）若函数，求证：当时，函数无零点.

Answer

（1）最大值为，最小值为；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出导函数，讨论在上的单调性即可求出最值；

（2）对函数等价变形，结合定义域利用经典不等式进行放缩，转化成证明函数恒为正，即可证明函数无零点.

【解析】
（1）依题意，，

故当时，，f（x）递增；

当时，f(x)递减；

故，

而，

因为，故，

故函数在上的最大值为，最小值为；

（2）令，

得，

令，对任意实数恒成立，

所以，即，

则，

令，所以

，

因为，所以

所以时，时，，

所以在上有最小值，

所以，

因为，所以，所以，

所以，即时，对任意，

所以，

故当时，函数无零点.