Question

已知函数且在上的最大值为，

（1）求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点个数，并加以证明

Answer

（1）（2）2个零点.

【解析】

（1）由题意，可借助导数研究函数上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（2）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．

(1)由已知得f′(x)=a(sinx+xcosx),对于任意的x∈(0, )，

有sinx+xcosx>0,当a=0时,f(x)=− ，不合题意；

当a<0时,x∈(0,),f′(x)<0,从而f(x)在(0, )单调递减，

又函数f(x)=axsinx− (a∈R)在[0, ]上图象是连续不断的，

故函数在[0, ]上的最大值为f(0)，不合题意；

当a>0时,x∈(0, ),f′(x)>0,从而f(x)在(0, )单调递增，

又函数f(x)=axsinx− (a∈R)在[0, ]上图象是连续不断的，

故函数在[0, ]上上的最大值为f()=a−=，解得a=1，

综上所述,得；

(2)函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。证明如下：

由(I)知,f(x)=xsinx−,从而有f(0)=− <0,f()=π−32>0，

又函数在[0, ]上图象是连续不断的,所以函数f(x)在(0, )内至少存在一个零点，

又由(I)知f(x)在(0, )单调递增,故函数f(x)在(0, )内仅有一个零点。

当x∈[,π]时,令g(x)=f′(x)=sinx+xcosx，

由g()=1>0,g(π)=−π<0,且g(x)在[,π]上的图象是连续不断的，

故存在m∈,π),使得g(m)=0.

由g′(x)=2cosx−xsinx,知x∈(,π)时,有g′(x)<0，

从而g(x)在[,π]上单调递减。

当x∈,m),g(x)>g(m)=0,即f′(x)>0，

从而f(x)在(,m)内单调递增

故当x∈(,m)时,f(x)>f(π2)=π−32>0，

从而(x)在(,m)内无零点；

当x∈(m,π)时,有g(x)0,f(π)<0且f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的，

从而f(x)在[m,π]内有且仅有一个零点。

综上所述,函数f(x)在(0,π)内有且仅有两个零点。