Question

已知函数的最大值为.

（1）求不等式的解集；

（2）若、、均为正数，且满足，求证：.

Answer

（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出该不等式的解集；

（2）由（1）可得出函数的最大值的值，从而得出，然后再利用基本不等式可证明出不等式成立.

（1）当时，，

令，即，解得，此时；

当时，，

令，即，解得，此时；

当时，，

令，即，解得，此时.

综上所述，不等式的解集为；

（2）由（1）知，当时，；

当时，；

当时，.

综上所述，函数的最大值为，.

由基本不等式得，

当且仅当时，等号成立，所以.