Question

已知四棱锥中,底面是正方形,平面,,是的中点.

（1）求证：平面平面;

（2）求二面角的大小;

（3）试判断所在直线与平面是否平行,并说明理由.

Answer

（1）证明见解析（2）（3）AE与平面PCD不平行,详见解析

【解析】

（1）先根据条件证平面,又因为平面,所以可以证得平面平面.

（2）根据条件得两两垂直,以此建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,设平面的法向量,求出法向量,根据公式求出两个法向量的余弦值,即可得出二面角的大小.

（3）依题意可证平面,则平面的法向量为,又∵,则与不垂直,证得与平面不平行.

（1）证明：∵是正方形

∵⊥平面, 平面,∴

∵平面

∴平面

又∵平面

∴平面平面

（2）∵平面, 平面

∴

又∵是正方形∴

∴两两垂直

∴以为原点如图建系,设

∴, , , , ,

∴

又∵平面

∴平面的法向量

设平面 的法向量

则,

∴

令,得∴

∴

∴二面角的大小为

（3）∵, ,

又平面,∴平面

∴平面的法向量为

又∵

∴与不垂直,∴与平面不平行