Question

如图，四边形为矩形，，，为线段上的动点．

（1）若为线段的中点，求证：平面；

（2）若三棱锥的体积记为，四棱锥的体积记为，当时，求二面角的余弦值．

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接，，记它们的交点为，连接，利用中位线可得，再利用线面平行的判定定理可证.

（2）设，取中点，利用三棱锥的体积公式和，可得，再建立空间直角坐标系，利用向量可得二面角的余弦值.

（1）连接，，记它们的交点为，连接

因为四边形为矩形，∴为中点，

又为线段的中点，∴，

而平面，平面

∴平面．

（2）∵矩形，∴，

又，∴，，∴平面，

设，取中点，

因为是等边三角形，∴，

又因为平面，

∴，，∴平面，且，

设三棱锥的高为，则，∴，

由得，解得，

由题意，如图以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，

∵，∴，

易知平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，

则

令则得平面的一个法向量，

因为二面角为锐角二面角，

所以二面角的余弦值为．