Question

在斜三棱柱中，，侧面是边长为4的菱形，，，、分别为、的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的正弦值.

Answer

(1)证明见解析； (2) .

【解析】

（1）结合菱形的性质和勾股定理，证得，再由，得到，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面；

（2）以为坐标原点，以射线为轴，以射线为轴，过向上作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，求得平面和的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）由题意，因为是菱形，，为中点，所以.

又因为是直角三角形的斜边的中线，

故，又，，

所以，所以是直角三角形，∴，

因为，所以平面，所以，

又因为，，所以，所以平面.

（2）由（1）知平面，因为平面，所以平面平面，

又由，所以平面，

以为坐标原点，以射线为轴，以射线为轴，过向上作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系,如图所示，则轴，

则，，，，，

，，，

由（1）知平面，∴平面的法向量，

设平面的法向量，，，

则，即，

令，则，.即，

所以，

所以，

故二面角的正弦值为.