Question

如图，在四棱锥中，平面，，，且，，.

（1）求证：；

（2）在线段上,是否存在一点,使得二面角的大小为，如果存在,求与平面所成角的正弦值；如果不存在,请说明理由.

Answer

（1）见解析（2）在线段上,存在一点,使得二面角的大小为，且与平面所成角正弦值为

【解析】

（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，于此得出；

（2）设，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐标，则即为与平面所成角的正弦值.

（1）∵，，∴，∴

∵平面，∴，∴平面，平面，∴；

（2）以为原点，以过平行于的直线为轴，所在直线分别为轴、轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，设，，，

，

设平面的法向量，则，即

则，又平面的法向量为，

∴

解得：或（舍），，

平面的法向量为，设与平面所成角为，则

.