Question

已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的焦点弦的弦长为，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知直线，互相垂直，直线过且与椭圆交于点，两点，直线过且与椭圆交于，两点.求的值.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据周长确定，由通径确定，求得，因而确定椭圆的方程．

（2）分析得直线、直线的斜率存在时，根据过焦点可设出AB直线方程为，因而直线的方程为.联立椭圆方程消去y，得到关于x的一元二次方程.由韦达定理求得和，进而.

当AB斜率不存在时，求得，，所以．

当直线的斜率为时，求得，，所以．

即可判断．

（1）将代入，得，所以.

因为的周长为，所以，，

将代入，可得，

所以椭圆的方程为.

（2）（i）当直线、直线的斜率存在且不为时，

设直线的方程为，则直线的方程为.

由消去得.

由韦达定理得，，

所以， .

同理可得.

.

（ii）当直线的斜率不存在时，，，.

（iii）当直线的斜率为时，，，.

综上，.