Question

如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，，分别为，的中点.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成的角为，，求点到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取的中点，连接，，由中位线定理可证，，再由已知条件可得，可证四边形为平行四边形，即可得证结论；

（2） 平面，点到平面的距离相等，转化为求到平面的距离相等，连接，取的中点，连接，，可证，结合已知可得平面，由直线与平面所成角的定义，得，根据直角三角形边角关系及中位线定理，求出，可得，由已知条件可得平面，进而有，可证平面，为所求距离；或求出三棱锥的体积和的面积，用等体积法，求点到平面的距离

【解析】
（1）证明：如图，取的中点，连接，，

在中，，分别为，的中点，

∴.又∵为中点，底面是矩形，

∴，∴，

∴四边形为平行四边形，∴.

又∵平面，平面，∴平面.

（2）方法一：连接，取的中点，连接，.

在中，，

∵平面，∴平面，

∵与平面所成角为，∴，

∵，∴，

在中，∵，，∴，

∴，

∴为等腰直角三角形，∴，

∵底面为矩形，∴，

∵平面，∴，又，

∴平面.

又平面，∴，

又∵，∴平面，

又∵，，

∴点到平面的距离为.

方法二：连接，取的中点，连接.

在中，，

∵平面，∴平面，

∵与平面所成角为，

∴.

∵，∴，在中，

∵，，

∴，，，

∴为等腰直角三角形，∴，

∵底面为矩形，∴，

∵平面，∴，又，

∴平面，∴.

在中，，

在中，.

设点到平面的距离为，则

由得.

∴，∴，

∴点到平面的距离为.