Question

已知，是椭圆：的左右两个焦点，过的直线与交于，两点（在第一象限），的周长为8，的离心率为.

（1）求的方程；

（2）设，为的左右顶点，直线的斜率为，的斜率为，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆定义可知，周长为，结合已知求出，即可求解；

（2）若直线斜率不存在时，求出坐标，以及值，并有 ；当直线斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，得出两点坐标关系，求出，，再求出取值范围，将表示为的二次函数，转化求二次函数的取值范围，即可求得结论.

【解析】
（1）由条件得解得，

所以的方程为.

（2）由（1）得，，，

当直线的斜率不存在时，，，

，.

当直线的斜率存在时，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为，

设，，由得

，

则，，

∴

.∴.

因为点在第一象限，所以，（为椭圆的上顶点）

∴，

∴.